Lineare Algebra Beispiele

$x + 2 y = 3$ , $2 x + k y = 2$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{2}{y} & \frac{0}{y} & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{y} & 0 & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{y} \cdot 0 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{y} \cdot 2 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{y} & - \frac{4}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$k - \frac{4 y}{y} = - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $k$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $\frac{4}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k + \frac{4}{y} = 4$

$x + 2 y = 3$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Schritt 5

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 - 2 y$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(4 - \frac{4}{y}, 3 - 2 y, y)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - \frac{4}{y} \\ 3 - 2 y \\ y \end{array}]$